同步学习

课堂导入：

怎么样求适合某种条件的点的轨迹？我们归纳一下：

【总结】：

①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；

②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；

③用坐标表示条件，列出方程；

④化简方程为最简形式。

⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。

这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。

定义：

平面内与定点距离等于定长的点的集合(或轨迹)是圆.

圆的方程有三种形式：

圆的标准方程

圆心为,半径为 .

使用该方程的最大优点是可以方便的看出圆的圆心坐标与半径大小。

特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：。如图

圆的标准方程是由圆心坐标以及半径来决定。因此，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

圆的一般方程

当时,方程叫圆的一般方程. 圆的一般方程可以写成

其中圆心为(-，-)，半径为.

当时，表示只有实数解,它表示一个点.

当，方程没有实数解，它不表示任何图形。

特点：缺少项，的系数相同。

圆的参数式方程

以原点为圆心、为半径的圆的参数方程是，（其中为参数）。以为圆心、为半径的圆的参数方程是，（为参数）。的几何意义是：以垂直于轴的直线与圆的右交点与圆心的连线为始边、以与动点的连线为终边的旋转角。如图

三种形式的方程可以相互转化。其流程图为

【小结】无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。

圆系方程：

过圆C：和直线l：的交点的圆的方程为

【例1】已知圆的方程是  ,写出圆心坐标和半径。

解：根据圆的标准方程形式，我们把可以写成，所以圆心坐标为，半径为。

【点评】：关于圆的最基本知识：首先是确定好圆心坐标以及半径问题。

【例2】已知圆的方程是：，其中a≠1，且a∈R。

求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点。

解：将方程整理得

令

解之得 

∴定点为(1，1)。