经典例题荟萃
【例1】如图已知点A(-1,0)与点B(1,0)，C是圆 
上的动点，连接BC并延长至D，使 CD = BC ，试求 直线AC与OD的交点P的轨迹方程
【解析】：设
,
,
可知
是
的重心，故连接
，
设动点
则得
，由重心坐标公式得
即;
,
.
又C 在圆上，代入圆的方程
，
化简得：
即得圆的轨迹方程。
【例2】根据下列条件，求圆的方程。
(1)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；
(2)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4
，求圆的方程。
【解析】：(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：
=
即
解方程组 
得圆心C的坐标为(4，-3)。
又圆的半径r=|OC|=5
∴所求圆的方程为
(2) 设圆的方程为 
⑴
将P、Q点的坐标分别代入⑴，得：
令
，由(1)得
(4)
由已知
，
其中
是方程(4)的两根。
∴ 
(5)
由(2)、(3)、(5)组成的方程组，得
或
故所求圆的方程为
或
。
【例3】两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值
，求P点的轨迹。
【解析】：P的坐标为（x，y）.
由
得
化简得
当
，整理得
.
当a=1时，化简得x=0.
所以当
时，P点的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴。
【例4】设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
【解析】：关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。 设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(
，
)，线段MN的中点坐标为(
，
)。
因为平行四边形对角线互相平分，故=
，=
从而 
在圆上，
故
因此所求轨迹为圆：，但应除去两点：(-
，
)和(-
，
)
【小结】：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。
【例5】圆
上至少有三个不同点到直线
:
的距离为
,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )
A.[
]
B.[
]
C.[
D.
【解析】：圆
整理为
，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3
，要求圆上至少有三个不同的点到直线
的距离为
，则圆心到直线的距离应小于等于，
∴ 
，
即
，
解得
，
，
∴ 
，
直线的倾斜角的取值范围是
，选B.