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梯形

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

【强调】：① 梯形与平行四边形的区别和联系；② 上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的。

梯形的一些基本概念（如图）：底、腰、高．

（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

等腰梯形的性质

① 等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

② 等腰梯形同一底上的两个角相等．

③ 等腰梯形的两条对角线相等．

对于梯形的概念要注意以下几点：

（1）梯形和平行四边形的共同点：都是凸四边形；

（2）它们的区别：平行四边形是有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；

（3）对于上、下底（这是习惯叫法，不是定义）是以长短来区分的，而不是指位置关系．

解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

【小结】：梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．所以，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．

等腰梯形的性质与等腰三角形相仿，因此在推导其性质或需要添加辅助线时，可以借助等腰三角形来研究．尤其是根据等腰三角形是轴对称图形，可得到等腰梯形是轴对称图形这条性质，在总结等腰梯形的性质时，不要漏掉．

【例1】如图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD，相交于点E，求证△EBC和△EAD是等腰三角形.

【证明】：∵四边形是等腰梯形

∴∠B=∠C.

∴△EBC是等腰三角形.

∵AD∥BC

∴∠1=∠B，∠2=∠C,

∴∠1=∠2

∴△EAD是等腰三角形.

【小结】延长两腰梯形辅助线添加方法三。

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

【解析】：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．

其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，

∵∠B=70°，∠C=40°

∴∠AEB=∠C=40°

在△EAB中，∠EAB=70°

∴△ABE是等腰三角形（EA=EB），

因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．

【小结】“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形梯形辅助线添加方法一。

我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？

命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

这个命题是否成立？我们证明如下：

　　已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．

求证：AB=CD．

【分析】：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．

　　                                
证明方法一：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．

∵AB∥DE， ∴∠B=∠1，

∵∠B=∠C， ∴∠1=∠C．　

∴DE＝DC．

又∵AD∥BC，　∴DE＝AB=DC．

证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过点A作AE⊥BC， 过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F。如下左图。

证明方法三： 延长BA、CD相交于点E，如上右图。                     

从而得到：等腰梯形判定方法：

     等腰梯形判定方法：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．

【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形。