经典例题荟萃

【例1】 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．

已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．

【分析】：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．

【证明】：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，

又 AD∥BC，∴ 四边形ACED为平行四边形，

∴ DE=AC ．∵ AC=BD， ∴ DE=BD，∴ ∠1=∠E

　∵ ∠2=∠E，∴ ∠1=∠2

　又 AC=DB，BC=CE，  ∴ ΔABC≌ΔDCB．  ∴ AB=CD．

∴ 梯形ABCD是等腰梯形．

【例2】画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm、12cm，高为3cm，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

【分析】：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．

如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE，然后完成 AECD的画图．

画法：

①     画ΔABE，使

　　            .

② 延长BE到C使EC=4cm.

③ 分别过A、C作AD∥BC，CD∥AE，AD、CD交于点D．

四边形ABCD就是所求的等腰梯形．

【解析】：梯形ABCD周长＝4＋12＋5×2＝26cm，

答：梯形周长为26cm，面积为24．

【例3】如图16-3-3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4cm，BC＝10cm，求梯形的面积．

 【分析】：欲求梯形面积必须先求高，根据已知对角线，可以作辅助线构造平行四边形和三角形，从而利用平行四边形和三角形的知识来解决问题．

【解析】：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，作DE⊥BC于E．

 ∵四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC, CF＝AD＝4．

 ∵AC⊥BD，AC∥DF，∴∠BDF＝∠BOC＝90°．

 ∵AC＝BD，∴BD＝DF，∴BF＝BC+CF＝14，DE＝÷BF＝7．

 反思：作对角线的平行线把梯形转化成平行四边形是常见的引辅助线方法．同时梯形的面积也等于△DBF的面积．

【例4】等腰梯形的两底之差为8，高为4，则等腰梯形的锐角为(    )

A．30°        B. 45°       C．60°         D．75°

【分析】：如图16-3-4，关键是作辅助线，将AD平移到BC上。即CF＝8，由于等腰△CDF．DE是高，所以CE=4．

 所以△CDE是等腰直角三角形．

 故∠C=45°答案选B。

【例5】梯形上、下底长分别是2cm和7cm，一腰长为3 cm，则另一腰的长度取值范围是         ．

【分析】：如图16-3-5：要求CD的取值情况，需先将梯形分成平行四边形与三角形，所以可求得DF＝3，EC＝5，故的范围可在△CDE中求出．

解得：